대학입시
  • 지난해 성균관대 수리 논술고사에는 어떤 문제가 출제됐을까?
  • 김효정 기자

  • 입력:2018.11.09 13:15
박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사가 말하는 ‘수리논·구술의 모든 것’ ⑧

 









성균관대학교는 논술전형에서 매년 많은 인원을 선발한다. 2019학년도에는 논술우수자전형에서 895명의 신입생을 선발하며 이는 전체 모집 정원의 25%에 이르는 수준이다. 정시모집 선발 인원 보다는 200명 가량 많은 수준이다. 따라서 성균관대학교를 지망하는 많은 학생들이 논술전형에 관심을 갖는다.

 

 

이번 회에서는 전년도 성균관대에서 출제된 수리논술 문제에 대하여 알아보자.

 

 

성균관대학교 수시모집 논술고사

 

성균관대학교 수시모집 자연계열 논술고사는 시험시간 100분에 수리논술 2, 과학논술 1개 대문항이 출제되고, 각 대문항 당 4개 이내의 소문항이 출제되어 왔다.

 

2018학년도 성균관대 수리논술 문제의 난이도는 평이했으며 출제방식 및 유형도 예년과 큰 차이가 없었다. 올해의 논술시험도 작년과 유사한 형식으로 진행된다.

 

성균관대 수리논술 시험의 난이도는 평균적으로 높지 않은 편이다. 간혹 고난이도의 문제가 출제되었던 적도 있으나 대체적으로 평이한 문제가 출제되었다. 따라서 사소한 감점에 의해 당락이 결정될 수도 있으므로 꼼꼼한 답안 작성에 주의해야 할 것이다. 또한 특정 유형의 문제가 자주 출제되는 경향이 있으므로 기출문제를 통해 시험에 임하기 전 이러한 유형에 충분히 익숙해져야 할 것이다.

 

 

2018학년도 성균관대학교 자연계열 수리논술 기출분석

 

2018학년도 성균관대 수리논술 시험은 모집단위에 따라 오전과 오후로 나누어 시행되었으며 두 그룹의 문제 유형 및 형식은 차이가 없다. 이제부터 이 두 번의 시험 문제에 대하여 순차적으로 분석을 시작할 것이다.

 

성균관대학교 수리논술 시험을 준비하는 학생들은 아래의 문항분석을 보기 전에 먼저 스스로 풀어볼 것을 권한다. 학생들의 문제 해결 능력 향상에 도움을 주고 문제를 이해할 수 있게 하기 위해서 아래 문항분석은 문제 풀이 방법을 알 수 있게 하는 설명이 다소 포함되어 있다, 하지만 학생들이 자유롭게 생각할 기회를 빼앗지 않기 위하여 반드시 필요한 경우를 제외하고는 구체적인 풀이 방법의 언급은 가능한 피하도록 할 것이다.

 

 

오전 [공학계열/건축학(5년제)/수학교육/컴퓨터교육/건설환경공학부]


2018
학년도 오전에 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.

 


 

2018학년도 성균관대 수리논술은 대학에서도 강조하듯 특별한 심화학습을 하지 않아도 교과과정을 착실히 공부한 학생이라면 풀 수 있을 만큼 평이하게 출제되었다. 특히 오전의 문제는 수능 시험에서 가장 어려운 문제보다 더 쉽게 느껴질 정도로 출제되었다. 각 문제에 적용되는 교과과정의 개념을 정확히 파악하고 그 해결과정을 빠짐없이 기술하는 것이 관건이다. 각각의 문제를 살펴보자.

 

 

[수학 1]

 


 

문항분석

선분과 호를 따라 이동할 때 최단 경로를 찾는 문제이다. 이와 같이 기하학적으로 주어진 상황에서 길이, 넓이 등 필요한 값을 함수식으로 표현하고, 최적화된 상황을 찾는 유형은 성균관대학교에서 가장 빈번하게 출제되는 유형이다.

 

[1-i][1-ii]에서는 길이, [1-iii]에서는 넓이에 대한 질문을 하고 있지만 결국 3개의 소문항에 모두 포함된 것은 ‘T의 값이다. , 이 문제에서는 ‘T의 값을 함수식으로 표현하는 것이 가장 중요하다. 그것을 위해서는 동점 E, F의 위치를 적당한 변수로 표현해야 한다. 부채꼴의 호가 포함된 문제이므로 이 변수는 중심각인 각 CDF로 잡는 것이 좋을 것이다.

 

이를 이용하여 T의 값을 함수식으로 표현했다면 각각의 소문항들은 도형의 기본 성질, 함수의 증감 분석을 통하여 자연스럽게 해결될 것이다.

 

 

[수학 2]

 


 

문항분석

6n까지의 자연수가 들어있는 <상자1>6n까지의 짝수가 들어있는 <상자2>에서 카드를 뽑을 때, 몇 가지 특정한 사건이 일어날 확률을 구하는 문제로 모든 소문항이 경우의 수를 통하여 확률을 구할 수 있도록 설계되었다.

 

모든 확률 문제가 그러하듯 이 문제도 확률을 구하고자 하는 경우가 어떤 경우인지 정확하게 판단하는 것이 중요하다. 간단하게 연습해보자. 이 문제에서 묻는 경우들을 아래에 나열할 것이니 각각의 카드에 대하여 구체적으로 어떤 경우인지 생각해보자.

 

                              A : 두 카드에 적힌 수의 합이 짝수

                              B : 두 카드에 적힌 수의 곱이 6의 배수

                              C : AB의 교집합

 

잘 생각해 보았는가? 만약 아래와 같이 생각하였다면 문제를 풀기에 부족함 없는 상태이다.

 

                         A : 두 수 모두 홀수이거나 모두 짝수

                         B : 두 수 중 적어도 하나가 6의 배수이거나 

                             두 수 모두 6의 배수가 아니면서 하나는 2의 배수, 다른 하나는 3의 배수

                         C : 두 수 모두 짝수이면서 적어도 하나는 3의 배수

 

이렇게 경우를 구체화시켰다면 상자에 포함된 숫자를 이 성질에 따라 분류하여 생각하자. 예를 들어 <상자1>에는 6의 배수가 n, 3의 배수가 2n, 짝수가 3n, 홀수가 3n개 있다고 생각한다. 이를 이용하면 문제에서 요구하는 확률을 구함에 어려움이 없을 것이다.

 

 

오후 [자연과학계열/전자전기공학부/소프트웨어학/반도체시스템공학/글로벌바이오메디컬공학/의예]

 

2018학년도 오후에 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.

 


 

 

성균관대학교 논술시험은 수년째 오전과 오후로 나뉘어 시행되고 있다. 우연의 일치인지 의도된 것인지는 알 수 없으나 자연계열의 경우 오후의 시험이 오전의 시험보다 다소 어려웠던 적이 많았으며 2018학년도의 시험 또한 그러했다. 하지만 오후의 시험 또한 교과과정의 개념을 착실히 적용하면 충분히 해결할 수 있도록 출제되었다. 각각의 문제를 살펴보자.

 

 

[수학 1]

 

 



 

문항분석

원 위의 한 점 P와 원 내부의 한 점 Q를 지나는 직선과 원의 두 교점 R, S로 이루어지는 삼각형 PRS에 대하여 세 변의 길이의 제곱의 합과 넓이가 각각 최대가 되는 조건을 구하는 문제로 성균관대에서 가장 빈번하게 출제하는 유형의 문제이다. 사용할 미지수도 문제에서 알려주었으니(기울기 m) 이를 이용하여 제곱의 합과 넓이를 함수식으로 표현한 후 미분을 통하여 최대 조건을 구하면 될 것이다.

 

여기서 문제는 이들을 함수식으로 표현하려면 RS의 좌표를 구해야 하는데 이것이 복잡한 무리식으로 표현된다는 것이다. 이와 유사한 상황을 학생들은 여러 번 경험해보았으리라 생각한다. RS의 좌표를 구하기 위해 식을 세우면 이차방정식으로 표현된다. 그렇기 때문에 우리에게는 근을 직접 구하지 않더라도 근을 이용하여 연산을 할 방법이 있다. 이 글을 읽는 학생들 머릿속에 방법이 떠올랐기를 바란다. 그렇다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용하는 것이다. 근을 구하지 못하더라도 근을 적당한 문자(예를 들어, α, β )로 표현한 후, 구하려는 값인 제곱의 합이나 넓이를 이 문제에 대한 식으로 표현하고 근과 계수와의 관계를 이용하여 함수식을 찾아내는 것이 이 문제 풀이의 열쇠이다.

 

각 소문항에서 최대 조건을 구하기 위하여 함수식을 미분해야 하는데 [1-ii]의 경우에는 미분하기에는 계산이 다소 복잡한 함수식이 구해진다. 여기서는 로그미분법 또는 함수식을 제곱하여 근호를 없앤 후에 미분하는 방법 등이 계산을 조금이나마 간단하게 해 줄 것이다.

  

 

[수학 2]

 

문항분석

부분적으로 주어진 함수의 정보를 이용하여 함숫값을 추론하는 문제이며 여러 대학의 수리논술 시험에서 잘 다루어지지 않은 독특한 유형의 문제이다. 학생들에게 생소할 수는 있지만 이 문제의 해결에는 교과과정의 매우 기본적인 개념만이 활용된다. 문제에 주어진 함수에 대한 정보가 무엇을 의미하는지 정확히 파악하는 것이 가장 중요하다.

 

<제시문2>에 주어진 정보들, 특히 (3)에 주어진 정보를 이용하면 주어진 함수가 선분들의 조합, 즉 기울기가 2-3인 일차함수의 조함으로 이루어져 있음을 파악할 수 있을 것이고 이를 이용하면 앞의 2개 소문항이 어렵지 않게 해결되었을 것이다.
 

하지만 문제는 세 번째 소문항이다. [수학2] 문항에 배정된 배점 30점 중 무려 20점이 [2-iii]번 하나의 소문항에 배정되어 있다. 구체적으로 정보가 주어지지 않은 2019개의 많은 점들의 함숫값들의 합을 구해야 하는 점이 문제를 어렵게 만든다. 그리고 이 2019개의 함숫값들을 각각 구할 수 있는 방법은 수학적으로 존재하지도 않는다. , 이 함숫값들을 하나하나 구하려한다면 문제를 절대로 풀 수 없다. 우리가 집중해야 하는 것은 이다. 각각의 함숫값들은 다양하게 정해질 수 있으나 그 은 일정하다는 것이 이 문제의 핵심이다.

 

이 문제를 해결해나가는 동안 에만 집중하기를 바란다. 문제에 Σ로 표현된 수식은 결국 짝수 번째 점에서의 함숫값에서 홀수 번째 점에서의 함숫값들을 뺀 값의 총합과 연관지을 수 있다. 또 이것은 증가하는 구간에서의 증가량과 연관지을 수 있을 것이다. 처음 함숫값과 마지막 함숫값을 이용하여 증가하는 구간의 총 길이만 찾을 수 있다면(참고로 이 부분을 찾는데 필요한 아이디어는 [2-ii]에서 연습했다.) 증가할 때의 기울기가 2로 일정하다는 사실을 이용하여 간단히 답을 찾을 수 있다.

  

성균관대학교 수리논술 시험은 시행 초기부터 평이한 난이도로 출제되었으며 과학이 선택형으로 변한 2014학년도부터 현재의 유형이 유지되고 있다.(이후 과학논술의 경우는 2문제 선택에서 1문제 선택으로 변하며 전체 시험시간이 줄어들었다.) 앞에서도 언급했듯이 성균관대학교 수리논술 시험에서는 특정한 유형의 문제들이 자주 반복되어 등장하고 있으므로 기출문제를 충분히 연습하여 그러한 유형에 익숙해지는 것이 반드시 필요하다. 2019학년도에 성균관대학교 논술전형에 지원하는 자연계열 수험생들은 무엇보다도 먼저 기출문제를 통하여 수리논술 시험에 대비하도록 하자.

 

 

성균관대를 지원하는 학생들에게 많은 도움이 되었기를 바란다.

 




박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사

  



▶에듀동아 김효정 기자 hj_kim86@donga.com


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